考研数学试题典型错误辨析：数学二 电子书 pdf 百度云 下载 epub 2025 免费 mobi 在线

本书结合作者数十年的阅卷经验，归纳、分析了在近十多年全国硕士研究生入学统一考试数学试题的解答过程中，考生所出现的典型错误，以帮助备考的考生有意识地发现自己在对知识点的理解和考点的表现方式方面所存在的缺陷.此书是针对工学门类中对数学要求较低的学科或专业的考生（选择数学二试卷）而编写的，共安排两个部分: 高等数学、线性代数.为了便于考生与自己的解答相对照并且能够达到知其所以然的目的，对于所选择的真题，在给出题目后，首先进行“考点分析”，然后给出详细解答，再通过“方法点击”加以提炼，*后列出“典型错误”并给出出错的原因分析.

目录

 CONTENTS部分高等数学1

一、 极限与连续3

二、 一元函数微分学14

三、 一元函数积分学27

四、 多元函数微分学41

五、 多元函数积分学56

六、 常微分方程66

第二部分线性代数77

一、 行列式79

二、 矩阵87

三、 向量98

四、 线性方程组108

五、 矩阵的特征值和特征向量125

六、 二次型143

张天德，1995年破格晋升副教授，2000年晋升教授。现任山东大学数学学院教授、硕士研究生导师，全国硕士研究生入学考试山东阅卷组组长，全国大学生数学竞赛山东赛区负责人，普通高考阅卷组组长，山东数学会高等数学专业委员会理事长，全国微课程比赛山东赛区副主任兼秘书长。在科学出版社、高等教育出版社、山东科学技术出版社、天津科学技术出版社等10几家出版社主编各类大学、高中教材、辅导读物50余种，所编图书长期占据各大书店排行榜。

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一、极限与连续〖*4/5〗1.1数列极限判断数列极限是否存在及求数列极限是考研数学的重要考点.夹逼准则和单调有界准则是常用的判别极限是否存在的方法. 求数列极限的方法有利用定积分定义、夹逼准则、化为函数极限等.例1(2012年)(Ⅰ) 证明方程xn xn-1 … x=1(n为大于1的整数)在区间12,1内有且仅有一个实根;(Ⅱ) 记(Ⅰ)中的实根为xn,证明limn→∞xn存在，并求此极限.【考点分析】本题考查连续函数的零点存在定理及极限存在准则(单调有界数列必有极限).【解】(Ⅰ) 令fn(x)=xn xn-1 … x-1，则fn(x)在12,1上连续，且fn12=12n 12n-1 … 12-1=121-12n1-12-1<121-12-1=0,又fn(1)=n-1>0，即fn12与fn(1)异号，于是由连续函数的零点存在性定理知，fn(x)在12,1内至少存在一个零点. 又f′n(x)=nxn-1 (n-1)xn-2 … 2x 1>0,x∈12,1,故知fn(x)在12,1上单调增加，所以fn(x)在12,1内多有一个零点，综上得fn(x)在12,1内有零点，也即方程: xn xn-1 … x=1在区间12,1内有且只有1个实根.(Ⅱ) 由(Ⅰ)知fn(x)=xn xn-1 … x-1在区间12,1内存在的零点，记为xn，则xn∈12,1. 记fn 1(x)=xn 1 xn xn-1 … x-1=xn 1 fn(x).又fn 112=12n 1 12n … 12-1=121-12n 11-12-1<121-12-1=0,fn 1(xn)=xn 1n fn(xn)=xn 1n>0(因为xn是fn(x)的一个零点)，故fn 1(x)在12,xn内必存在的零点xn 1,即12<xn 1<xn,由此可见，数列{xn}单调减少且有界由(Ⅰ)知12<xn<1，故必存在极限(收敛). 不妨将{xn}的极限记为a，则a∈12,1. 又因为fn(xn)=xnn xn-1n … xn-1=0,即xnn xn-1n … xn=1,故有xn-xn 1n1-xn=1(等比数列前n项和公式). 两端取极限有: limn→∞xn-xn 1n1-xn=a-01-a=1,解得a=12,故limn→∞xn=12.〖1〗 部分高等数学 一、极限与连续〖3〗【方法点击】(1) 在实根存在性问题上，经常会用到连续函数的零点存在性定理，即: 设f(x)在[a,b]上连续，又f(a)和f(b)异号，则存在c∈(a,b)，使得f(c)=0,c为f(x)的零点.本题思路是构造函数fn(x)=xn xn-1 … x-1,将讨论已知方程根的问题转化为讨论fn(x)零点的问题.(2) 当没有xn的具体表达式时，可考虑利用递归数列求极限，其基本方法是先证明递归数列{xn}收敛(常用单调有界数列必收敛的定理)，再设limn→∞xn=A，对递归方程取极限后，解出A即可. 也可先求出A，再证明limn→∞xn=A.【典型错误】大部分考生没有做对第(Ⅱ)问，主要原因是不能很好地利用第(Ⅰ)问的结论且不会运用极限存在准则. 2011年(19)题、2013年(20)题和本题类似，这也是近年来命题的特点，请考生关注. 部分考生第(Ⅰ)问时没有验证fn(x)在12,1上单调增加，则在12,1内多有一个零点，导致失分.例2(2006年)设数列{xn}满足0<x1<π，xn 1=sinxn(n=1,2,…).(Ⅰ) 证明limn→∞xn存在，并求该极限.(Ⅱ) 计算limn→∞xn 1xn1x2n.【考点分析】本题考查极限的存在准则及极限的求法.【解】(Ⅰ) 因为0<x1<π，则0<x2=sinx1≤1<π.可推得0<xn 1=sinxn≤1<π,n=1,2,…，则数列{xn}有界.又有xn 1xn=sinxnxn<1(因当x>0时，sinx<x)，则有xn 1<xn,可见数列{xn}单调减少，故由单调减少有下界数列必有极限知，极限limn→∞xn存在.设limn→∞xn=l，在xn 1=sinxn两边令n→∞，得l=sinl，解得l=0,即limn→∞xn=0(因f(x)=x-sinx在(-∞, ∞)单调上升，有零点x=0).(Ⅱ) 解法一因limn→∞xn 1xn1x2n=limn→∞sinxnxn1x2n，由(Ⅰ)知该极限为“Ⅰ∞”型，令t=xn，则n→∞时，t→0，而limt→0sintt1t2=limt→01 sintt-11t2=limt→01 sintt-11sintt-11t2·sintt-11.又limt→01t2sintt-1=limt→0sint-tt3=limt→0cost-13t2=limt→0-sint6t=-16.故limn→∞xn 1xn1x2n=limn→∞sinxnxn1x2n=e-16.解法二因为limn→∞xn 1xn1x2n=limn→∞sinxnxn1x2n.又由(Ⅰ)知，当n→∞时，xn→0，故考虑函数极限:limx→0sinxx1x2=limx→0exp1x2·lnsinxx.因为limx→01x2lnsinxx=limx→01x2ln1 sinxx-1=limx→01x2sinxx-1=limx→0sinx-xx3洛必达法则limx→0cosx-13x2等价无穷小量代换limx→0-12x23x2=-16.所以limx→0sinxx1x2=e-16.从而limx→∞xn 1xn1x2n=e-16.【方法点击】本题中用到了求数列极限的两种非常重要的方法.(1) 在(Ⅰ)问中，对于有递推关系的数列极限的证明问题，利用单调有界数列必有极限准则来证明. 此类题型在以往的考研试题中经常出现. (2) 在(Ⅱ)问中，关键一步是将离散的数列极限转化为连续的函数极限求解，其中出现的未定式极限求法多样，也可以利用sinx的麦克劳林展开式进行计算.【典型错误】有的考生在数列极限存在的证明过程中，没有用数学归纳法证明，因而证明不完整，另一个常见错误是直接用洛必达法则计算极限limn→∞lnsinxnxnx2n，这是不允许的，即对数列不能直接用洛必达法则. 还有一些考生在求解方程l=sinl时遇到困难，导致丢分.例3(2016年)极限limn→∞1n2sin1n 2sin2n … nsinnn=.【考点分析】本题考查数列的极限，定积分的定义，定积分的分部积分法.【解】由定积分的定义知limn→∞1n2sin1n 2sin2n … nsinnn=limn→∞1n1nsin1n 2nsin2n … nnsinnn=∫10xsinxdx=-∫10xdcosx=-xcosx10 ∫10cosxdx=-cos1 sinx10=sin1-cos1.【方法点击】设xn=∑ni=1ai,求limn→∞xn常用下列方法: (1) 根据数列特点，先求数列的和再求极限.(2) 利用定积分定义.若xn=∑ni=1ai可以表示为xn=1n∑ni=1bi，而bi=fin或fi-1n，则limn→∞xn=∫10f(x)dx.(3) 利用夹逼准则.【典型错误】本题利用定积分的定义把数列的极限表示为定积分，再应用定积分的分部积分法计算定积分，题中加项的项数随n变动，不能用加法求极限法则. 另有部分考生在将积分∫10xsinxdx化为-∫10xdcosx时，丢掉负号，导致结果错误.

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前言

前言

 FOREWORD

为了帮助广大考生能够在较短的时间内，准确理解和熟练把握考研数学的命题方式和解题规律，全面提高解题能力和应考能力，在短的时间内轻松夺取考研数学高分，我们严格依据*制定的《全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲》，邀请到众多有着丰富命题、阅卷和辅导经验的一线名师精心编写了这本《考研数学试题典型错误辨析》

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历年的考研真题完全反映了考研命题的指导思想、基本原则和出题趋势，是*考试中心一届又一届命题组老师们精挑细选出极具典型性和代表性的题目

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1.

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通过对本书真题的研习，考生可以切实掌握考研数学的重点、难点以及深度，真正吃透题目解法，达到考试时胸有成竹的境界

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这样考生可避免再犯同类的错误，杜绝失分现象，有效减少失分

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4.  

栏目实用生动： 每道题目分为【考点分析】【解】【方法点击】【典型错误】几个特色板块：

【考点分析】从命题人的角度给出了想要考查的知识点，让考生掌握考研〖

1

〗 前言数学应该复习的重点内容

.

从解题思路层面解析每一个题目，使考生不仅会做题目，而且会分析题目并会做同样类型的题目；

【解】全面翔实的解题过程；

【方法点击】就试题解答中所采用的方法进行总结，从解题的角度串起不同的知识点，使考生在潜移默化中培养数学思维模式

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【典型错误】

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编者根据多年的考研阅卷工作的经验，总结了考试时往年考生常见的错误，研习他人和自己可能犯的错误，就能进一步明辨是非，不再重蹈覆辙

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阅读本书时，应先自己动手做题，再将自己的结果与本书中的解法相比较

.

考生从平时就要加强对自己计算能力的训练，同时尽量按步骤把每一个题目的解答过程写下来，一来避免出错，二来养成卷面整洁的习惯

.

另外我们建议考生把本书的全部试题做

2~3

遍，通过反复练习，把不明白的地方真正弄明白，达到看到类似的题目就能想到解题思路的地步，才可以在后的考试中做到胸有成竹

.

本书由张天德、张德瑜、吕洪波、张焕玲编著

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衷心希望我们的这本《考研数学试题典型错误辨析》能对您有所裨益

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祝愿所有备考硕士研究生入学考试的学子们获取高分，心想事成！

作者

2017

年

4

月

书籍介绍

本书结合作者数十年的阅卷经验，归纳、分析了在近十多年全国硕士研究生入学统一考试数学试题的解答过程中，考生所出现的典型错误，以帮助备考的考生有意识地发现自己在对知识点的理解和考点的表现方式方面所存在的缺陷.此书是针对工学门类中对数学要求较低的学科或专业的考生（选择数学二试卷）而编写的，共安排两个部分: 高等数学、线性代数.为了便于考生与自己的解答相对照并且能够达到知其所以然的目的，对于所选择的真题，在给出题目后，首先进行“考点分析”，然后给出详细解答，再通过“方法点击”加以提炼，最后列出“典型错误”并给出出错的原因分析.